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Mecu 3031 Precálculo

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Examen 1

1) Considera la ecuación lineal 8x - 5y = 20:

1) a. Halla los interceptos e identifícalos.

Para hallar los interceptos tienes que sustituir la variable que NO buscas por un 0, ya que así te quedaría la coordenada de un intercepto.

 

Encuentra el intercepto en x:
Paso
Resultado
Explicación
1   8x -5y = 20      Comienza con la ecuación
2   8(0) -5y = 20   Sustituye la variable x por cero.
3   -5y = 20        8(0) = 0 .
4   y = -20 / 5   Despeja por la variable x (divide por -5 en ambos lados )
5   y = -4   Simplifica la fracción.
    El intercepto en y corresponde al par (0, -4) .

Para hallar los interceptos en x procedes de la misma forma, sustituyendo la variable y por un cero. La contestación es: ( 5/2, 0).

Explicación:

Los interceptos de cualquier función son los lugares donde la gráfica de la función corta el eje de x o el eje de y:

. interceptos

Lo usual es escribir la función lineal en la forma regular y = mx + b, es decir, despeja por la variable dependiente y:

Para encontrar la forma pendiente-intercepto de la función, despeja por y:
Paso
Resultado
Explicación
1    8x -5y = 20       Comienza con la ecuación
2    8x -8x -5y = 20 - 8x    Resta 8x en ambos lados.
3    -5y = 20 - 8x    8x - 8x = 0
4    y = (20 - 8x) / (-5)    Divide por -5 en ambos lados de la ecuación
5    y = 20/ (-5) - 8x / (-5)    Usa la propiedad distributiva.
6    y = -4 + (8/5)x    Simplifica y usa la propiedad de división por un número
    negativo
7    y = (8/5)x - 4    Rearregla los términos

Esta forma permite leer el intercepto en y, además de la pendiente, directamente de la ecuación. También facilita hacer la gráfica.

De esta forma, el intercepto en y es el valor y = (8/5) 0 - 4 = -4.

Para encontrar el intercepto en x (el corte en el eje de x, también llamado cero de la función), igualas la función a cero y resuelves por x:

Para encontrar el intercepto en x
Paso
Resultado
Explicación
1    y = (8/5)x - 4     Comienza con la ecuación
2    0 = (8/5)x - 4    Iguala la ecuación a cero
3    4 = (8/5)x    Suma 4 en ambos lados
4    (5/8)4 = x    Multiplica por el recíproco de 8/5 en ambos lados
5    x = 5/2  

El intercepto en x es entonces el punto (5/2, 0) , tal como se ve en la gráfica arriba

 

1) b. Halla la pendiente.

Para hallar la pendiente se despeja para la variable dependiente y para obtener la forma pendiente-intercepto de la ecuación lineal y = mx +b; donde m representa la pendiente y b el intercepto en el eje de y.

Para encontrar la forma pendiente-intercepto de la función, despeja por y:
Paso
Resultado
Explicación
1 8x -5y = 20    Comienza con la ecuación
2 8x -8x -5y = 20 - 8x   Resta 8x en ambos lados.
3 -5y = 20 - 8x   8x - 8x = 0
4 y = (20 - 8x) / (-5)   Divide por -5 en ambos lados de la ecuación
5 y = 20/ (-5) - 8x / (-5)   Usa la propiedad distributiva.
6 y = -4 + (8/5)x   Simplifica y usa la propiedad de división por un número negativo
7 y = (8/5)x - 4      Re arregla los términos

Esta forma permite leer el intercepto en y, además de la pendiente, directamente de la ecuación. También facilita hacer la gráfica.

La pendiente es 8/5. Eso quiere decir que cada vez que el valor de x aumente en 1 unidad, al valor x + 1, el valor de y aumentará (la pendiente es positiva) en 8/5. La pendiente es en efecto la tasa de cambio de la variable y por unidad de cambio en la variable x. También se le conoce como la tasa de cambio marginal.

Si desde el principio, hubieras expresado la ecuación en la forma pendiente-intercepto, te hubieras ahorrado mucho trabajo.

1) c.  Traza la gráfica de la ecuación.

La gráfica de la ecuación está representada arriba. En muchos casos, es preferible usar este orden: (1) expresa la ecuación en su forma pendiente-intercepto, y = m x + b, (2) dibuja la gráfica. Ahora se puede leer la pendiente y el intercepto en y directamente de la ecuación. El intercepto en x se puede leer (usualmente) de la gráfica misma.

1) d. Determina si el par (25,36) es un punto en la gráfica de 8x -5y =20. Muestra o indica cómo lo determinas.

Para determinar si el par es un punto en la gráfica se sustituye los valores del par ordenado por los valores de x, y en la ecuación. Debe obtenerese el mismo resultado en ambos lados, pues es una ecuación.

8x -5y = 20

8(25) - 5(36) = 20

200 - 180 = 20

20 = 20.

El par (25,36) sí un punto en la gráfica de 8x - 5y = 20. Esto también puede verse al sustituir el valor x = 25 en la función y = (8/5)x - 4 (forma pendiente intercepto). El resultado obtenido debe ser y = 36. Esto quiere decir que el punto (25, 26) es un punto en la línea recta determinada por y = (8/5)x - 4.

2) La tarifa que una compañía de taxis cobra se puede calcular con la ecuación T = 0.40x +1.25, donde T es la Tarifa a pagar cuando el pasajero viaja en el taxi durantex minutos.

2) a. Indica cual es la pendiente de la ecuación.

La ecuación T = 0.40x = 1.25, está en la forma y = mx + b, pendiente intercepto. La pendiente es el valor del coeficiente que acompaña la variable independiente x: Por lo tanto, la pendiente es m = 0.40 .

2) b. ¿Cómo se interpreta la pendiente en el contexto planteado?

La pendiente explica el cambio de la variable dependiente y por cada unidad de cambio de la variable independiente x. Por lo tanto, por cada minuto adicional que se viaja, la tarifa a pagar aumenta 40 centavos.

2) c. Usa la interpretación de la pendiente para determinar cuánto aumenta la tarifa ( T ) cuando el número de minutos (x) que el pasajero viaja en el taxi aumenta en 10.

La tarifa aumenta en 0.40( 10) = 4.00 dólares. Es decir, los 10 minutos adicionales costaron 4.00 dólares.

3)  Considera la gráfica de la recta que aparece a continuación para contestar las preguntas 3)a, 3)b, 3)c, y 3)d :

-3/4 x + 3

 

3) a. En la recta, ¿cuál es el valor de y que le corresponde a: x = -4?; ¿cuál valor de y corresponde a x = 8?

Debes leer la gráfica, buscas el valor de x en el eje horizontal y desde ahí, buscas en forma vertical (hacia arriba o abajo) la línea recta. Cuando llegues a la línea recta, lees el valor de y correspondiente en el eje vertical. Así, cuando x = -4, el valor de y = 6.; Cuando x = 8, y = -3 .

fn

3) b. ¿En la recta, cual es el valor de x que le corresponde a y = 9? ¿cual valor de x le corresponde a y = 0?

Debes nuevamente leer la gráfica, esta vez, comenzando en el eje vertical. Buscas el valor de y en el eje vertical y desde ahí, buscas en forma horizontal (hacia la derecha o izquierda) hasta llegar a la línea recta. Cuando llegues a la línea recta, lees el valor de x correspondiente en el eje horizontal. Así, cuando y = 9, x = -8. Cuando y = 0, x = 4 (este es el corte o intercepto en el eje de x).

3) c. Determina la pendiente de la recta.

Para hallar la pendiente de cualquier recta, solo se necesitan dos puntos. En este caso usaremos los puntos que encontramos anteriormente, (-4, 6) y (8, -3),

La pendiente es entonces m = (y2 -y1) ÷ (x2 - x1) = (-3 - 6) ÷ ( 8 - (-4)) = -9 ÷ 12 = -3/4. Así, m = -3/4. Se hubiera obtenido el mismo resultado si se usara los puntos ( -8, 9) y (4, 0). Inténtalo.

3) d.   Determina la ecuación de la recta. (Escribe la respuesta en la forma pendiente- intercepto).

Para determinar ecuación de una recta de una ecuación se puede usar una de las dos formas de la ecuación: la forma pendiente-intercepto o la forma punto-pendiente, la cual en este caso es la más conveniente. Selecciona un punto cualquiera en la recta, tal como (8, -3), entonces:

   y - y1 = m(x - x1)    forma punto-pendiente de la recta
   y - (-3) = (-3/4) (x - 8)    sustituye los valores de x, y, m en la ecuación
   y + 3 = (-3/4)x + 6    - (-3) = 3. Usa la propiedad distributiva, multiplica (-3/4) por x, (-3/4) por -8.
   y = (-3/4)x + 6 -3    resta 3 en ambos lados
   y = (-3/4)x + 3    6 - 3 = 3. Ecuación de la línea recta.

 

4) Traza la gráfica de la recta que pasa por el punto (-1 , 5) y tiene pendiente m = -3.

El primer paso es encontrar la ecuación de la recta. Ya que se cuenta con un punto y con el valor de la pendiente, al igual que antes, se debe usar la forma punto-pendiente:

   y - y1 = m(x - x1)    forma punto-pendiente de la recta
   y - 5 = (-3) (x - (-1))    sustituye los valores de x, y, m en la ecuación
   y - 5 = (-3)( x + 1)    - (-1) = 1.
   y - 5 = -3x - 3    Usa la propiedad distributiva, multiplica (-3/4) por x, (-3/4) por -8.
   y = -3x -3 + 5    suma 5 en ambos lados. La ecuación de la línea recta es y = -3x + 2.

Una vez se cuenta con la ecuación de la línea, se sustituye por lo menos dos valores de x para obtener los valores correspondientedes de y. Por ejemplo, cuando x = 0, y = 2. Cuando x = 1, y = -1. Se localiza estos dos puntos en la gráfica y se traza la línea recta. Usualmente es buena idea sustitutir un valor adicional para x, con el fin de confirmar los cómputos. Los tres puntos deben estar en la línea.

-3x + 2

 

5) Las siguientes aseveraciones son falsas. Haz el cambio que sea necesario para convertirlas en una aseveración cierta.

5) a. Si la pendiente de una recta que pasa por el punto (2, 0) es m = 3 , entonces la recta también pasa por el punto (5, 4).

La pendiente es la razón de cambio en la variable dependiente y por cada unidad de cambio en la variable independiente x. La forma de calcularlo es tomar el cambio en y, dividiéndolo por el cambio en x.  Cuando m = 3, la variable y se mueve 3 unidades hacia arriba (ya que m es positivo) por cada unidad de aumento en x. Por lo tanto, si la recta pasa por (2, 0) y tiene pendiente 3, entonces también pasa por (3, 3) (x aumenta en 1 unidad, la y aumenta en 3 unidades : (2 + 1, 0 + 3)), luego por (4, 6): (3 +1, 3 + 3), y también pasa por (5, 9).  Como la recta es una funcíon, no puede pasar simultáneamente por (5, 9) y por (5, 4), por lo tanto no pasa por (5, 4). 

Otra forma es encontrar la ecuación de la línea en su forma punto pendiente: y - y0 = m(x - x0), de donde la ecuación es y = 3x - 6. Cuando x = 5, y = 3(5) - 6 = 9.

5) b. La pendiente de la recta x = 7 es cero.

La pendiente de toda línea vertical es indefinida. Esto ocurre pues la pendiente es el cambio en y dividido por el cambio en x. Como x es siempre igual a 7, constante, su cambio siempre es cero. La división por cero no está definida.

6)  Para las rectas L1, L2 y L3, indica si su correspondiente pendiente es positiva ( m > 0), negativa ( m < 0), cero ( m = 0), o no definida ( N. D.).

Rectas

6) a. Pendiente de L1
6) b. Pendiente de  L2
6) c. Pendiente de L3

Contestación

6) a. La Pendiente de L1 no está definida, la recta es vertical.
6) b. La Pendiente de  L2 es positiva, se inclina hacia arriba cuando vamos de izquierda a derecha. Los valores de y aumentan a medida que los de x aumentan.
6) c. Pendiente de L3 es negativa, se inclina hacia abajo cuando vamos de izquierda a derecha. Los valores de y dismimuyen a medida que los de x aumentan.

7)  Halle la ecuación de la recta horizontal de la recta horizontal que pasa por el punto (-15, 12).

La pendiente de una línea horizontal es 0, porque su cambio en y es 0. Se usa la forma punto pendiente de la ecuación :

y - y0 = m(x - x0)

y -12 = 0(x - (-15))

y -12 = 0 + 0, así

la ecuación de la recta horizontal es y = 12 o en su forma general, y -12 = 0.

8) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-10, -2) y es paralela a la recta y = 3 x + 4 . (Escribe la respuesta en la forma general).

Una recta paralela a otra recta tienen la misma pendiente, por lo cual en este problema se cuenta ya con la pendiente y un punto.

y - y0 = m(x - x0)

y - (-2) = (3/5) (x - (-10))

y + 2 = (3/5)(x + 10)

y + 2  = (3/5)x + (30/5)

-(3/5)x + y +2 - 6 = 0

-(3/5)x + y - 4 = 0;  puedes evitar usar el coeficiente de x negativo multiplicando toda la ecuación por (-1). En esta forma la ecuación es (3/5)x - y +4 = 0 .

9) En el año 2003 las ventas en dólares de una compañía fueron $1,079,000. Si a partir del año 2004, las ventas han estado aumentado a razón de $421,000 por año, 

9) a. Determina la ecuación de tendencia lineal que expresa las ventas en dólares de la compañía ( s ) en término del tiempo transcurrido en años ( t ). [Codifica los años transcurrido de modo que t = 0 represente el año 2003].

Es preferible hacer la gráfica para visualizar mejor los puntos y la recta. Los valores de x serán los años empezando desde 0 hasta 10, donde el año base, 2003 se representa por el cero, el 2004 por el uno y así consecutivamente. En esta situación las ventas son función del tiempo, por lo que la variable dependiente y = ventas se grafica en el eje de y. Si las ventas para el año 2003 fueron de $1,079,000, y este año es representado por 0 en la gráfica, entonces 1,079,000 es el intercepto en y. Como el problema indica que la pendiente que es positiva, pues las ventas han ido aumentando con los años, se sustituye en la ecuación pendiente-intercepto y se obtiene la ecuación.

 y = mx + b

y = 421,000 x +1,079,000, o expresado en términos de las variables en el problema, s = 421,000t + 1,079,000

9) b. ¿Cuánto se espera que sean las ventas en el 2008? Contesta en una oración completa.

Sustituye en la ecuación que se encontró arriba, s = 421,000t + 1,079,000 por la variable t, que representa los años transcurridos desde el 2003. Por lo tanto t = 2008 -2003 = 5 se sustituye en la ecuación:

s = $421,000t +$1,079,000

s = $421,000(5) +$1,079,000

s = $3,139,000.  Esta contestación parte de la premisa que las ventas siguen creciendo de la misma forma que antes, que no hay cambios importantes en la economía, en los productos, ni en la compañia.

10)  Una compañía compró una máquina con vida útil de 12 años. Si al cabo de 4 ½ años la máquina tiene un valor de $9,375; contesta cada una de las siguientes en una oración completa.

10) a.  ¿Cuánto deprecia anualmente el valor de la máquina?

Si la máquina tiene una vida útil de 12 años, al finalizar ese periodo la máquina tendrá un valor de $0. Con esta información se cuenta con dos puntos, el primero es el valor de la máquina al cabo de 4.5 años, (4.5, 9,375) y el otro punto representa el valor de la máquina al cabo de 12 años: (12, 0). Como el valor es función del tiempo, se representan los años en el eje de x :

El cambio en valor es v2 - v1 = 0 - 9,375 = -9,375, mientras que el cambio en el número de años es

t2 - t 1 = 12 - 4.5. Por lo tanto, la pendiente es - 9,375/7.5 = -1,250.

Esto quiere decir que por cada año que pasa desde la fecha de la compra de la máquina, esta deprecia anualmente $1,250. Este resultado parte de la premisa que el tipo de depreciación que toma la compañía es lineal, la que representa una de las varias formas de tomar la depreciación de algún bien.

10) b.  ¿Cuál es el valor original de la máquina? Usa la ecuación lineal que establece la relación entre el valor s de la máquina y los años de uso de la máquina.

Ya que se cuenta con dos puntos y el valor de la pendiente, se usa cualquiera de los dos puntos y la pendiente para hallar la ecuación. Luego se usa la ecuación, con t = 0 para contestar la pregunta:

v - v1 = m( t - t 1)

v - 0 = -1,250(v - 12)

v = -1,250t + 15,000

Si t representa el número de años desde la compra de la máquina, y se quiere saber su valor original se sustituye t = 0 en la ecuación, que representa el momento de su compra.
 v = -1,250(0) + 15,000 = 15,000. El valor original de la máquina es $15,000

 

Colaboración: Ana Guzmán Febo